Математика — это дверь и ключ к наукам.
Роджер Бэкон
Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает.
Норберт Винер
В числах есть нечто, чего нет в словах...
И.А. Бродский
Математика несёт красоту в любую науку.
А.В. Волошинов
Великая книга природы написана математическими символами.
Г. Галилей
Математика — царица наук.
Карл Фридрих Гаусс
Если мы действительно что-то знаем, то мы знаем это благодаря изучению математики.
Пьер Гассенди
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
Н.Е. Жуковский
Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.
А. Н. Колмогоров
Математика – заклятый враг зубрёжки.
Эжен Ионеско
С помощью цифр доказать можно все что угодно.
Т. Карлейль
Математика – это язык, на котором говорят все точные науки.
Н.И. Лобачевский
Математика есть прообраз красоты мира.
Иоганн Кеплер
Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.
А.П. Конфорович
Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.
Джордж Сантаяна
Не опускайте рук, займитесь математикой, и вы прозреете душою...
М.Ф.Кравчук
Математику уже затем знать надо, что она ум в порядок приводит.
М.В. Ломоносов
Счет и вычисления – основа порядка в голове.
Песталоцци
Всё есть число.
Пифагор
Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека.
Джордж Бернард Шоу
Числа правят миром.
Пифагорейцы
Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.
Платон
Если бы в математике не было красоты, то, наверное, не было бы и самой математики.
Н.А. Чайковский
Математика – музыка разума.
Джеймс Джозеф Сильвестр
Математика – гимнастика ума.
А.В. Суворов
Жизнь украшается двумя вещами: занятиями математикой и её преподаванием.
С.Д. Пуассон
Математика – самая надежная форма пророчества.
В. Швебель
Математика нужна для изучения многих наук, но сама она не нуждается ни в какой науке.
П.Ф.Каптерев
Устройство нашего мира нeпостижимо без знания математики.
Роджер Бэкон
Окружающий нас мир – это мир геометрии.
А.Д.Александров
УЧЕНИКУМАТЕМАТИКА 5ШПАРГАЛКА
Регистрация
Образование - это крылья, позволяющие человеку подняться на высокую интеллектуальную орбиту
Николай Иванович Мирон
Сертификат владельца сайта
Сертификат владельца сайта http://www.uchgaf.ru/

Версия для слабовидящих
Сейчас на сайте: 2
Besucherzahler
счетчик посещений
Рейтинг@Mail.ru
  • НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

    Для  счёта  предметов  применяют  натуральные  числа.  Любое   
    натуральное   число  можно  записать  с  помощью  десяти  цифр:   
    О,  1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9.       
    Такую  запись  чисел  называют  
    десятичной.

    Помните!   Нуль  не  относят  к  натуральным  числам.

     Последовательность  всех  натуральных  чисел  называют   
    натуральным  рядом:    

    1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10,  11,  12,  13,  14,  15,  ...    
     
    Самое  маленькое  натуральное  число  —  единица  (1).    
    В  натуральном  ряду  каждое  следующее  число  на  1  больше   
    предыдущего.    
    Натуральный  ряд  бесконечен,  
    наибольшего  числа  в  нем  нет.  
      
     

          Если запись натурального числа состоит из одной   
    цифры, то его называют 
    однозначным.     

                Например,  числа  1,  4,  7  —  однозначные.    

        Если запись числа состоит из двух  цифр,   
     то его называют 
    двузначным.     

                числа  12, 28, 90  —  двузначные,    

                числа  186,  500,  937  —  трехзначные И т.д.    


          Значение  цифры  зависит  от  ее  места  в  записи  числа.    

                             Например  281:     

             цифра 1  означает:  1  единиц,   она  на  последнем  месте  в  записи   
    числа  
    (разряд единиц),    

             цифра  8  -  десятки,   она  находится  на  предпоследнем  месте    
    (разряд  десятков),    

             цифра  1  -  сотни,   она  стоит  на  третьем  месте  от  конца    

    (разряд сотен)  и  т.  д.    

     Цифра  0  означает  отсутствие  единиц  данного  разряда  в   
    десятичной   записи  числа.  

    Она  служит  и  для  обозначения  числа  "нуль". (“ни одного”)   

     

     
  • ОТРЕЗОК

             Две  точки  A  и  B  соединенные  прямой
    линией называются  
    отрезком  АВ.  Тот  же

    отрезок можно обозначить ВА.  Точки  А  и  В   
    называют  
    концами  отрезка  AB

     Точка  N  лежит на отрезке. Записывают  N ∈ AB.  Читают N  принадлежит отрезку AB
     Точка  M  не  лежит на отрезке.  
    Записывают М ∉ AB.   Читают М не принадлежит отрезку AB . 

    Длина отрезка – это число, которое показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

    Для измерения длин отрезков применяют следующие единицы длины:

    миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

    1см = 10 мм     1дм = 10 см     1м = 10дм     1км = 1000м

    АВ = AN + NB

  • ТРЕУГОЛЬНИК

      Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя отрезками,         которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.

       Отрезки  АВ,  ВС  и  АС  называются  сторонами треугольника,  а  точки  А,  В  и  С  — вершинами треугольника  ABC.  

    Периметр треугольника – сумма длин его сторон.

    Р = АВ + ВС + АС

    ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДЛИНЕ СТОРОН

     Разносторонний– треугольник,   у которого три стороны имеют   различную длина

     

     

     

    Равнобедренный – треугольник,  у которого две   стороны равны.                   Равные стороны  называют  боковыми   сторонами,   а третью сторону – основанием. 

     

    Равносторонний – треугольник,   у которого три стороны равны

      Р = 3х

     х – сторона равностороннего треугольника

    ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ВЕЛИЧИНЕ УГЛОВ

    Остроугольный – треугольник,   у которого все углы острые

    Прямоугольный – треугольник,   у которого один угол прямой

     

     

    Тупоугольный – треугольник,   у которого один угол тупой

     

  • ШКАЛЫ И КООРДИНАТЫ.

    На рисунке  изображен луч ОХ. Отметим на этом луче точку А .  
    Под началом луча, точка O , напишем число 0 , а под точкой   А — число 1.  
    Отрезок OА называется единичным отрезком. Нанесем на луч точку В ,  
    так чтобы расстояние OА было равно расстоянию АВ и под точкой В  
    напишем число 2 . Затем на этом же луче отложим отрезок ВС ,  
    равный единичному отрезку, и под точкой С напишем число 3 .    

            Повторяя эти действия, мы получим бесконечную  
    шкалу. Ее называют 
    координатным лучом.  

          Числа 0, 1, 2, 3, ... , соответствующие точкам O, А, В, С ... ,  
    называют
    координатами этих точек.    
    Записывают
    О(0),  А(1),  В(2),  С(3) 

     

    Шкала – отрезок, разбитый на части, равные единичному отрезку.

     Шкалы встречаются на различных  измерительных  
    приборах, например линейка, термометр, весы и т.д.  

  • СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ

    При счете натуральные числа называют по порядку: 1, 2, 3, 4, ... .  
    Число, которое при счете называют раньше, меньше того,  
    которое при счете называют позже. 
     

    Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства,  
    применяя знаки   <   (меньше)   и   >   (больше) .    
    Например:  
                                        1 < 5         8 > 3             6 < 9 .    
    Число меньше, чем 5,   и больше, чем 1.  
    Это записывают в виде двойного неравенства:  

                                                        1 < 2 < 5 .    

    Легкий способ запоминания, когда использовать   < , а когда   > ,  
    для сравнения чисел.    

    Меньшее число должно находиться с острого (маленького) конца знака,  
    а большее с широкого (большого) конца знака:    


                                                    1 < 6               6 > 1. 

    Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее  
    точки с большей координатой. 
     

  • СЛОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

    Слагаемые — это числа, которые мы складываем,  
    а результат их сложения называется
    суммой.    
    Например:           5 + 3   =   8 .  
    5   и   3  —  это слагаемые.     —  это сумма. 

    Переместительное свойство сложения:

    При перестановке слагаемых сумма не меняется

    a + b = b + a

    6 + 1 = 1 + 6 = 8

    Сочетательное свойство сложения:

      Сумма трех и более слагаемых не изменится от  изменения порядка сложения чисел.  

    a + (b + c) = (a + b) + c

    8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5

    При прибавлении нуля к числу сумма равна самому числу.

    a + 0 = 0 + a = a

    10 + 0 = 10

  • ВЫЧИТАНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

    Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым,  
    а число, которое вычитают, 
    вычитаемым.  
    Результат вычитания называют 
    разностью. 

    20 – 8 = 2

    20 – уменьшаемое; 8 – вычитаемое: 2 – разность

     Разность двух чисел показывает, на сколько уменьшаемое  
     больше вычитаемого, или,  на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого.

    Вычитание суммы из числа

    a– (b + c) = a – b – c

    114 – (14 + 50) = 114 – 14 – 50 = 50

    Вычитание числа из суммы

    ( a + b ) – c   =   a + ( b – c ) ,   если   с < b    
     или    ( a + b ) – c   =   ( a – c ) + b ,   если   с < a    

    ( 8 + 7 ) – 5       =     15 – 5   =   10 ;  
     8 + ( 7 – 5 )     =     8 + 2   =   10 ;  
    ( 8 – 5 ) + 7       =     3 + 7   =   10 

      Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.    
    8 – 0 = 8


      Если из числа вычесть это число, получится нуль. 

    8 – 8 = 0

  • УРАВНЕНИЕ

    Уравнение – равенство, содержащее букву.

    Корень уравнения – это число, которое при  подстановке вместо буквы, превращает

    уравнение в верное числовое равенство.

    Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

    Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть  известное слагаемое. 

    х + 28 = 50

    х = 50 – 28

    х = 22

    Чтобы найти неизвестное уменьшаемое,  надо сложить  вычитаемое и разность.

    х – 24 = 36

    х = 36 + 24

    х = 60

    Чтобы найти неизвестное вычитаемое,  надо из уменьшаемого вычесть разность.

    70 – х = 37

    х = 70 – 37

    х = 33

  • УМНОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

    Выражение вида   m • n ,   а также значение этого выражения называют  произведением чисел   m   и   n .   Числа   m   и   n   называют множителями.

     Произведение чисел   m   и   n   —  это сумма  n   слагаемых,  каждое из которых равно   m .  

    m + m + m + … + m = m • n

              n– штук

    Переместительное свойство умножения

    a•b = b•a

    5•7=7•5=35

    Сочетательное свойство умножения

    a•(b•c) = (a•b)•c

    5•(20•4) = (5•20)•4 = 400

    Произведение любого натурального числа и единицы, равно  самому этому числу. 

     a • 1   =   a.

    30 • 1 = 30 

    Произведение любого натурального числа и нуля, равно нулю.

     a • 0   =   0.

    20 • 0 = 0

       Произведения с буквенными множителями записывают так:   

    вместо   6 • x   пишут   6x ,       вместо   a • b   пишут   ab .   

    Также опускают знак умножения и перед скобками, 

    вместо   2 • (a + b)   пишут   2(а + b) ,   

    вместо   (a + 1) • (b + 2)   пишут   (a + 1)(b + 2) , 

    вместо   a • (b • c)   пишут   abc .     

     

  • ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

    Действие, с помощью которого, по произведению и одному из  множителей находят второй, называют делением. 

    Число, которое делят, называется делимым,  число, на которое делят, называют делителем,  а результат деления частным.

       30 : 15   =   2 .

    30 – делимое; 15 – делитель; 2 - частное  

    Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя. 

    ЗАПОМНИ!!!

    Делить на нуль нельзя.

      При делении любого числа на   1   получается это же число.

    25 : 1 = 25

    При  делении числа на такое же число получается 1.

    25 : 25 = 1

    При делении нуля на любое число получается нуль.

    0 : 25 = 0    

  • ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

    Натуральные числа не всегда делятся нацело.

    Пример:  37 : 8 = 4 остаток 5

    37 – делимое;  8 – делитель;  4 – неполное частное;  5 остаток

    Запомни!  Остаток всегда меньше делителя.

      Чтобы найти делимое, надо перемножить делитель и неполное частное и  
    прибавить остаток.

    Пример 1:    делитель = 5,  неполное частное = 3, остаток 2

    делимое = 5*3 + 2 = 17

    Пример 2: Саша разделил 22 на некоторое число и получил остаток 4.

    На какое число делил Саша?

     Допустим a делитель, b  неполное частное. Тогда получаем

    22 = ab + 4       ab = 22 – 4 = 18

    18 = 1 * 18 = 2 * 9 = 3 * 6  Так как  остаток 4 меньше делителя, то 

    Саша мог делить на 18, на 9 и на 6.

     

  • СТЕПЕНЬ ЧИСЛА

    Степенью числа a с натуральным показателем n называется произведение n множителей каждый из которых равен a.

    a  – называют основание степени, n – показатель степени

    Пример: 5^{4} = 5cdot 5cdot 5cdot 5= 625;     7^{2} = 7cdot 7 = 49;  x^{5} = xcdot xcdot xcdot xcdot x;  (3y)^{3} = (3y)cdot (3y)cdot (3y) = 27y^{3}

    Вторую степень называют квадратом числа. Запись m2 читают “m в квадрате”

    Третью степень называют кубом числа. Запись m3 читают “m в кубе”

     Запись 64 читают “6 в четвёртой степени”

    Запомни!        a1 = a        Пример:   51 = 5 ;     2501  = 250 ;   10000001 = 1000000

    Запомни!        a0 = 1       Пример:   40 = 1 ;     1520  = 1 ;   10000000 = 1

    Запомни!        Возведение числа в степень – это пятое арифметическое действие.

    Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом – остальные действия.

    Пример:  5^{2} + 3^{3} = 5cdot 5 + 3cdot 3cdot 3 = 25 + 27 = 52

    4^{2} : 2 - 8 = 4cdot 4 : 2 - 8 = 16 : 2 - 8 = 0

    (11^{2} - 3cdot 7) : 5^{2} = (11cdot 11 - 21) : 5cdot 5 = (121 - 21) : 25 = 4