Две  точки  A  и  B  соединенные  прямой
линией называются  отрезком  АВ.  Тот  же
отрезок можно обозначить ВА.  Точки  А  и  В   
называют  концами  отрезка  AB

 Точка  N  лежит на отрезке. Записывают  N ∈ AB.  Читают N  принадлежит отрезку AB
 Точка  M  не  лежит на отрезке.  Записывают М ∉ AB.   Читают М не принадлежит отрезку AB . 

Длина отрезка – это число, которое показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Для измерения длин отрезков применяют следующие единицы длины:

миллиметры, сантиметры, дециметры, метры, километры.

1см = 10 мм     1дм = 10 см     1м = 10дм     1км = 1000м

АВ = AN + NB

На рисунке  изображен луч ОХ. Отметим на этом луче точку А .  
Под началом луча, точка O , напишем число 0 , а под точкой   А — число 1.  
Отрезок OА называется единичным отрезком. Нанесем на луч точку В ,  
так чтобы расстояние OА было равно расстоянию АВ и под точкой В  
напишем число 2 . Затем на этом же луче отложим отрезок ВС ,  
равный единичному отрезку, и под точкой С напишем число 3 .    

        Повторяя эти действия, мы получим бесконечную  
шкалу. Ее называют координатным лучом.  

      Числа 0, 1, 2, 3, ... , соответствующие точкам O, А, В, С ... ,  
называют координатами этих точек.    
Записывают О(0),  А(1),  В(2),  С(3) 

Шкала – отрезок, разбитый на части, равные единичному отрезку.

 Шкалы встречаются на различных  измерительных  
приборах, например линейка, термометр, весы и т.д.  

При счете натуральные числа называют по порядку: 1, 2, 3, 4, ... .  
Число, которое при счете называют раньше, меньше того,  
которое при счете называют позже.  

Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства,  
применяя знаки   <   (меньше)   и   >   (больше) .    
Например:  
                                    1 < 5 ;         8 > 3 ;             6 < 9 .    
Число 2 меньше, чем 5,   и больше, чем 1.  
Это записывают в виде двойного неравенства:  

                                                    1 < 2 < 5 .    

Легкий способ запоминания, когда использовать   < , а когда   > ,  
для сравнения чисел.    

Меньшее число должно находиться с острого (маленького) конца знака,  
а большее с широкого (большого) конца знака:    

                                                1 < 6 ;               6 > 1. 

Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее  
точки с большей координатой.  

Слагаемые — это числа, которые мы складываем,  
а результат их сложения называется суммой.    
Например:           5 + 3   =   8 .  
5   и   3  —  это слагаемые.     8  —  это сумма. 

Переместительное свойство сложения:

При перестановке слагаемых сумма не меняется

a + b = b + a

6 + 1 = 1 + 6 = 8

Сочетательное свойство сложения:

  Сумма трех и более слагаемых не изменится от  изменения порядка сложения чисел.  

a + (b + c) = (a + b) + c

8 + (2 + 5) = (8 + 2) + 5

При прибавлении нуля к числу сумма равна самому числу.

a + 0 = 0 + a = a

10 + 0 = 10

Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым,  
а число, которое вычитают, вычитаемым.  
Результат вычитания называют разностью. 

20 – 8 = 2

20 – уменьшаемое; 8 – вычитаемое: 2 – разность

 Разность двух чисел показывает, на сколько уменьшаемое  
 больше вычитаемого, или,  на сколько вычитаемое меньше уменьшаемого.

Вычитание суммы из числа

a– (b + c) = a – b – c

114 – (14 + 50) = 114 – 14 – 50 = 50

Вычитание числа из суммы

( a + b ) – c   =   a + ( b – c ) ,   если   с < b    
 или:     ( a + b ) – c   =   ( a – c ) + b ,   если   с < a    

( 8 + 7 ) – 5       =     15 – 5   =   10 ;  
 8 + ( 7 – 5 )     =     8 + 2   =   10 ;  
( 8 – 5 ) + 7       =     3 + 7   =   10 . 

  Если из числа вычесть нуль, оно не изменится.    
8 – 0 = 8

  Если из числа вычесть это число, получится нуль. 

8 – 8 = 0

Уравнение – равенство, содержащее букву.

Корень уравнения – это число, которое при  подстановке вместо буквы, превращает

уравнение в верное числовое равенство.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться, что их нет.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть  известное слагаемое. 

х + 28 = 50

х = 50 – 28

х = 22

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое,  надо сложить  вычитаемое и разность.

х – 24 = 36

х = 36 + 24

х = 60

Чтобы найти неизвестное вычитаемое,  надо из уменьшаемого вычесть разность.

70 – х = 37

х = 70 – 37

х = 33

Выражение вида   m • n ,   а также значение этого выражения называют  произведением чисел   m   и   n .   Числа   m   и   n   называют множителями.

 Произведение чисел   m   и   n   —  это сумма  n   слагаемых,  каждое из которых равно   m .  

m + m + m + … + m = m • n

          ^{n– штук}

Переместительное свойство умножения

a•b = b•a

5•7=7•5=35

Сочетательное свойство умножения

a•(b•c) = (a•b)•c

5•(20•4) = (5•20)•4 = 400

Произведение любого натурального числа и единицы, равно  самому этому числу. 

 a • 1   =   a.

30 • 1 = 30 

Произведение любого натурального числа и нуля, равно нулю.

 a • 0   =   0.

20 • 0 = 0

   Произведения с буквенными множителями записывают так:   

вместо   6 • x   пишут   6x ,       вместо   a • b   пишут   ab .   

Также опускают знак умножения и перед скобками, 

вместо   2 • (a + b)   пишут   2(а + b) ,   

вместо   (a + 1) • (b + 2)   пишут   (a + 1)(b + 2) , 

вместо   a • (b • c)   пишут   abc .     

Действие, с помощью которого, по произведению и одному из  множителей находят второй, называют делением. 

Число, которое делят, называется делимым,  число, на которое делят, называют делителем,  а результат деления частным.

   30 : 15   =   2 .

30 – делимое; 15 – делитель; 2 - частное  

Частное показывает во сколько раз делимое больше делителя. 

ЗАПОМНИ!!!

Делить на нуль нельзя.

  При делении любого числа на   1   получается это же число.

25 : 1 = 25

При  делении числа на такое же число получается 1.

25 : 25 = 1

При делении нуля на любое число получается нуль.

0 : 25 = 0    

Натуральные числа не всегда делятся нацело.

Пример:  37 : 8 = 4 остаток 5

37 – делимое;  8 – делитель;  4 – неполное частное;  5 остаток

Запомни!  Остаток всегда меньше делителя.

  Чтобы найти делимое, надо перемножить делитель и неполное частное и  
прибавить остаток.

Пример 1:    делитель = 5,  неполное частное = 3, остаток 2

делимое = 5*3 + 2 = 17

Пример 2: Саша разделил 22 на некоторое число и получил остаток 4.

На какое число делил Саша?

 Допустим a делитель, b  неполное частное. Тогда получаем

22 = ab + 4       ab = 22 – 4 = 18

18 = 1 * 18 = 2 * 9 = 3 * 6  Так как  остаток 4 меньше делителя, то 

Саша мог делить на 18, на 9 и на 6.

Степенью числа a с натуральным показателем n называется произведение n множителей каждый из которых равен a.

a  – называют основание степени, n – показатель степени

Пример: ;     ;  ;  

Вторую степень называют квадратом числа. Запись m² читают “m в квадрате”

Третью степень называют кубом числа. Запись m3 читают “m в кубе”

 Запись 6⁴ читают “6 в четвёртой степени”

Запомни!        a¹ = a        Пример:   5¹ = 5 ;     250¹  = 250 ;   1000000¹ = 1000000

Запомни!        a⁰ = 1       Пример:   4⁰ = 1 ;     152⁰  = 1 ;   1000000⁰ = 1

Запомни!        Возведение числа в степень – это пятое арифметическое действие.

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом – остальные действия.

Пример: