Квадратичной функцией называется функция вида , где  независимая переменная,  – некоторые числа, причём 

График квадратичной функции называется параболой.

Свойства функции у = х²

1. Область определения функции    

2.Область значений функции 

3.Если х=0, то у=0

4. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

5.Функция убывает в промежутке  и возрастает в промежутке 

6.Наименьшее значение, равное 0, функция принимает при х=0, наибольшего значения функция не имеет.

График функции  является параболой, которую можно получить из графика функции  с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на m единиц вправо, если m > 0, или на – m единиц влево, если m < 0, и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n > 0, или на – n единиц вниз, если n < 0

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1. Найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости         
2. Построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе.
3. Соединить отмеченные точки плавной линией.

Пример. Построим  график квадратичной функции у = х² – 2х – 1 

1. Координаты вершины х₀ = 1  у₀ =  – 2 (можно найти подставив х₀ в формулу у = х² – 2х – 1)
2. Найдём несколько точек (лучше симметричных относительно прямой, проходящей через вершину и параллельной у)   (0; – 1) и (2; – 1)     ( – 1; 2) и (3;2) и отметим их
3. Соединим отмеченные точки плавной линией

Степенная функция с натуральным показателем – это функция, заданная формулой у = хⁿ

Свойства функции у = хⁿ при чётном n аналогичны свойствам функции у = х²

Свойства функции у = хⁿ при нечётном n 

1. Область определения функции 

2. Область значений функции 
3. Если x > 0, то y > 0 ; если  x < 0, то y < 0
4. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.
5. Функция возрастает на всей области определения.

Корнем n–й степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а. 

  если 

Пример.               

Если n – нечётное число, то выражение  имеет смысл при любом 

Если n – чётное число, то выражение  имеет смысл лишь при любом ​

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, n-я степень которого равна а.

При любом нечётном n и положительном a верно равенство   

СПОСОБ ПОДСТАНОВКИ. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ.

1.Выразить одну переменную ( лучше первой степени и с коэффициентом 1 )

2. Подставить в другое уравнение.

3.Решить полученное уравнение с одной переменной.

4.Найти вторую переменную.

Пример: 

        y = 5 – x²     6x² – (5 – x²) = 2    7x² = 7     x² = 1 

x₁ =  – 1    x₂ =  1      y₁ = 4    y₂ = 4  

СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ.

1.Сложить (вычесть) уравнения системы ( избавиться от одной переменной )

2.Решить полученное уравнение с одной переменной.

3.Найти вторую переменную.

Пример: 

    Вычтем уравнения, чтобы избавиться от переменной х. Получим уравнение

– 2у² = – 8      у² = 4    у₁ = 2    у₂ = – 2   Подставляем у в любое уранение системы

х² + 2² = 9               х² = 5            и     при у = 2

х² + ( – 2)² = 9         х² = 5             и       при у = – 2

ответ:              

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают d

Формула n – го члена арифметической прогрессии    

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Если в последовательности каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой

Верно и обратное утверждение.

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго , равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Пример.    1,2,4,8,…                                  10, 100, 1000, …

                      g – знаменатель геометрической прогрессии

ФОРМУЛА n – го ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕСИИ.         b_n = b₁ g^{n – 1}

ФОРМУЛА СУММЫ n ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

Комбинаторное правило умножения. Имеется n элементов и требуется выбрать один за другим k элементов. Число способов равно произведению  Где n₁ – количество способов выбора 1 элемента, n₂ – количество способов выбора 2 элемента и т.д.

Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.

Число всевозможных перестановок из n элементов Р_n = n! = 1 x 2 x 3 x … x n ( x – умножение)