Сложение и вычитание алгебраических дробей c одинаковыми 
знаменателями выполняется по тому же правилу, что и с обыкновенными дробями: 

Пример

Чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби с разными знаменателями надо: 
• привести все дроби к общему знаменателю; 

• выполнить сложение (вычитание) полученных дробей с одинаковыми знаменателями. 

Пример

Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо:  
      перемножить их числители и результат записать в числитель,  
      перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель. 

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо  
     перевернуть вторую дробь и выполнить умножение 

 Чтобы возвести  алгебраическую дробь в степень нужно возвести  
 в эту степень числитель и знаменатель по отдельности.  

Квадратным корнем из неотрицательного числа  b называют такое  
неотрицательное число,  квадрат которого равен  b .  Это число  
обозначают  ,   число   b   называют   подкоренным числом.  
Если     √ b   =   c   ,     то     c²  =   b ,       при       c ≥ 0     и     b ≥ 0   .    
 Например:    
   =   0     0² = 0  ;        =   1   1² = 1 ;        =   3     3² = 9 ;        =   10     10² = 100   ... 
   Обратите внимание, 
 (−4)²   =   16   ,     но        ≠   −4  ,                =   4 . 
 Корень   не может   быть равен   отрицательному числу.    
     —   нельзя вычислить.  
Корень из   отрицательного числа   не существует.    

Корень из произведения  

Пример

Корень из дроби      

Пример

Корень из степени 

Пример

Упростите выражение

Квадратным уравнением назывется уравнение вида ax² + bx + c = 0, где х – переменная, a,b,c – некоторые числа, причём a не равно 0.

Числа a,b,c – коэффициенты квадратного уравнения. Число a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при х² равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.

Пример:   х² – 2х + 6 = 0;     х² – 8х = 0;  х² – 10 = 0 

Если в квадратном уравнении  ax² + bx + c = 0хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Пример:   х² – 6х = 0;     х² – 8 = 0;     – 6х² = 0

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов

 ax² + c = 0

Для решения неполного квадратного уравнения данного вида переносят свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a. Получают уравнение

    если   то,  уравнение имеет два корня    и   

если  то,  уравнение не имеет корней

Пример:        х² – 16 = 0        x² = 16    x₁ = 4   x₂ = – 4

                        х² + 16 = 0        x² = –  16    корней нет

 ax² + bx = 0

Для решения неполного квадратного уравнения данного вида раскладывают уравнение на множители и получают уравнение x(ax + b) = 0. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю х = 0 или ax + b = 0. Корнями уравнения ax² + bx = 0 являются числа х = 0 и х = – b/a

Пример:        2x² – 10x = 0         x(2x – 10) = 0   x₁ = 0       2x – 10 = 0   x₂ = 5

ax² = 0

 Неполного квадратного уравнения данного вида  имеет один корень х = 0

Пример:        6x²  = 0      x = 0       

 Квадратное уравнение   —   это уравнение вида  ax² + bx + c = 0

где коэффициенты   a ,   b   и   c   —   любые действительные числа,  причем   а ≠ 0 .  

        Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной,  
при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.  

          Решить квадратное уравнение   —   значит найти все его корни или  
установить, что корней нет.    

ФОРМУЛА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ.

, где            D – дискриминант квадратного уравнения.

1. Если D > 0 , то уравнение имеет два корня 

    и   

Пример:   4х² – 12х + 8 = 0      D = 12² – 4 * 4 * 8 = 144 – 128 = 16 > 0

  и          Ответ:  х₁ = 1   х₂ = 2

 2. Если D = 0 , то уравнение имеет один корень

Пример:   х² – 8х + 16 = 0      D = 8² – 4 * 1 * 16 = 64 – 64 = 0

             Ответ: х = 4

 3. Если D < 0 , то уравнение не имеет корней

Пример:   х² + 5х + 10 = 0      D = 5² – 4 * 1 * 10 = 25 – 40 = – 15 < 0

Ответ: корней нет.

 Рациональное выражение — это любое выражение, составленное из чисел, буквенных переменных, арифметических операций и возведения в степень.

Для преобразования рациональных выражений  потребуются  формулы сокращенного умножения.  

                            a²−b²   =   (a−b)(a+b) ;  
                            (a−b)²  =   a²−2ab+b² ;  
                            (a+b)²   =   a²+2ab+b² ;  
                            a³ −b³   =   (a−b)(a²+ab+b²) ;  
                            a³+b³   =   (a+b)(a²−ab+b²) ;  
                            (a+b)³   =   a³+3a²b+3ab²+b³ ;  
                            (a−b)³   =   a³−3a²b+3ab²−b³ .      

Теорема 1. Если a > b, то  b < a

Теорема 2. Если a < b и  b < с, то a < c

Теорема 3. Если a < b и  с – любое число, то a + с < b + c

Пример. – 4 < x < – 1    Оцените значение выражения  х + 5      – 4  + 5 < x + 5 < – 1 + 5           1 < x + 5 < 4

Теорема 4. Если a < b и  с – положительное число, то a с < b c. 

Если a < b и  с – отрицательное число, то a с > b c. 

Пример. – 4 < x < – 1    Оцените значение выражения   5x         – 4 * 5 < 5x < – 1 *5           – 20 < 5x < – 5

Пример. – 4 < x < – 1    Оцените значение выражения   – 5x      – 4 *( –  5 ) > –  5x > – 1 *( – 5 )         

                20 > –  5x > 5       5 < – 5x < 20

Следствие . Если a < b и  a и  b – положительные числа, то